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数学进展
论文
Lp-John椭球的极值性质
The Extremum Properties for $L_{p}$}-John Ellipsoid

马统一
MA Tongyi

1. 河西学院数学与统计学院, 张掖, 甘肃, 734000; 2. 西北师范大学数学与信息科学学院, 兰州, 甘肃, 730070
1. College of Mathematics and Statistics, Hexi University,Zhangye, Gansu, 734000, P. R. China;
2. College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou, Gansu, 730070, P. R. China

收稿日期: 2011-01-06
出版日期: 2013-06-25
DOI: 10.11845/sxjz.2011007b

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摘要 对于$0<p\leq \infty$和$\mathbb{R}^{n}$中的凸体$K$, Lutwak, Yang和Zhang定义了$L_{p}$-John椭球$E_{p}K$的概念. 本文证明了下面两个结论: (i) 对$\mathbb{R}^{n}$中任意原点中心对称凸体$K$, 存在一个椭球$E$和一个超平行体$P$, 使得当$1\leq p\leq \infty$和$0<q\leq 2$时, 有$2^{-1}\omega_{n}^{\frac{1}{n}}E\subseteq E_{p}K\subseteq 2\omega_{n}^{-\frac{1}{n}}n^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}E_{q}P$, 且$V(E)=V(K)=V(P)$;当$1\leq p\leq \infty$和$2\leq q\leq \infty$时, 有$n^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}E_{q}P \subseteq E_{p}K\subseteq E$, 且$V(E)=V(K)=V(P)$.(ii) 设$K$是$\mathbb{R}^{n}$中John点在原点的凸体, 则存在一个单形$T$, 使得当$1\leq p\leq \infty$和$0<q\leq 2$时, 有$E_{p}K\subseteq \alpha_{n}n^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}E_{q}T$, 且$V(K)=V(T)$;当$1\leq p\leq \infty$和$2\leq q\leq \infty$时, 有$E_{p}K\supseteq n^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}E_{q}T$, 且$V(K)=V(T)$.
关键词 Legendre球John椭球$L_{p}$-John椭球新椭球单形    
Abstract:For $0<p\leq \infty$ and a convex body $K$ in $\mathbb{R}^{n}$, Lutwak, Yang and Zhang definedthe concept of $L_{p}$-John ellipsoid $E_{p}K$. Inthis paper, we prove the following two results: (i) For any origin-symmetricconvex body $K$, there exists an ellipsoid $E$ and a parallelotope $P$ such that for $1\leq p\leq \infty$ and $0<q\leq 2$,$2^{-1}\omega_{n}^{\frac{1}{n}}E\subseteq E_{p}K\subseteq 2\omega_{n}^{-\frac{1}{n}}n^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}E_{q}P$, and $V(E)=V(K)=V(P)$;for $1\leq p\leq \infty$ and $2\leq q\leq \infty$,$n^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}E_{q}P \subseteq E_{p}K\subseteq E$, and $V(E)=V(K)=V(P)$.(ii) For any \ convex body $K$ whose John point is at the origin, there exists a simplex $T$ such thatfor $1\leq p\leq \infty$ and $0<q\leq 2$,$E_{p}K\subseteq \alpha_{n}n^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}E_{q}T$, and $V(K)=V(T)$;for $1\leq p\leq \infty$ and $2\leq q\leq \infty$,$E_{p}K\supseteq n^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}E_{q}T$, and $V(K)=V(T)$.
Key wordssimplex
基金资助:国家自然科学基金资助项目(No. 11161019)和甘肃省教育厅研究生导师基金项目(No. 1009B-09)
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