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数学进展
研究论文
有限域上一类代数簇\mbox{\boldmath$\zeta$}函数的计算
Computation of \mbox{\boldmath$\zeta$} Functions of Algebraic Varieties Over Finite Fields

徐浪,曹炜*
XU Lang,CAO Wei

宁波大学数学系, 宁波, 浙江, 315211
Department of Mathematics, Ningbo University, Ningbo, Zhejiang, 315211, P. R. China

收稿日期: 2013-09-22
出版日期: 2015-07-25
DOI: 10.11845/sxjz.2013125b

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摘要 对于有限域上给定代数簇的$\zeta$函数, Weil提出了著名的系列猜想, 其中``有理性''和``黎曼猜想的模拟''先后被Dwork和Deligne用$p$-adic分析和$l$-adic上同调等高深的代数几何工具所解决. 本文发现, 若代数簇的增广次数矩阵的Smith标准形满足一定的条件, 则可计算出其$\zeta$函数, 从而用初等的方法证明了Weil猜想中的``有理性''和``黎曼猜想的模拟''对于这类代数簇是成立的.
关键词 $\zeta$~函数黎曼猜想次数矩阵Smith标准形    
Abstract:For the $\zeta$ function of a given algebraic variety over a finite field, Weil proposed a series of celebrated conjectures. The rationality was proved by Dwork using $p$-adic analysis, and the analogue of the Riemann hypothesis by Deligne using $l$-adic cohomology. In this paper, we prove that if the augmented degree matrix of the variety satisfies some certain conditions, then its $\zeta$ function can be derived and the rationality and the analogue of the Riemann hypothesis of Weil conjectures can be verified.
Key wordsRiemann hypothesis    degree matrix    Smith normal form
基金资助:国家自然科学基金(No. 11371208)和宁波市自然科学基金(No. 2013A610102, No. 2014A610017).
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