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数学进展
  2016年, 第45卷, 第6期 刊出日期:2016-11-10 上一期    下一期
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“纪念《数学进展》创刊六十周年”特约综述文章
最优光滑化估计与迹定理综述
Neal Bez, 杉本充
数学进展. 2016, 45 (6): 801-800.   DOI: 10.11845/sxjz.2016001a
摘要   PDF (290KB)
本文对自由薛定谔方程解的一大类光滑化估计中最优常数和最优函数存在性问题、以及其对偶估计式的迹定理问题近年来的研究进展进行综述.在我们近期的研究成果(含部分与町原秀二和斋藤洋树合作的成果)之前, 除B. Simon和渡边一雄对部分特例得到的结果之外, 关于此问题的结果很有限.基于B. Walther在更一般情况下的结果、以及我们在同一研究脉络下 对经典调和分析中Funk-Hecke定理的创新应用,我们现在可以对最优常数相关的大量自然问题给出解答; 本综述中介绍了前述研究成果, 并阐述了证明背后的主要思路.本文还提及这一问题与带漂移项的薛定谔方程中初值问题适定性相关的沟—竹内猜想之间的联系, 并提出一些公开问题.
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有向强正则图及其构造
冯荣权, 曾丽伟
数学进展. 2016, 45 (6): 817-839.   DOI: 10.11845/sxjz.2016005a
摘要   PDF (297KB)

将参数为$(n,k,t,\lambda,\mu)$的有向强正则图(简称DSRG)记作DSRG$(n,k,t,\lambda,\mu)$, 它是有$n$个顶点且满足以下两个条件的有向图: 每个顶点都有$k$个出邻点和$k$个入邻点,且其中有$t$个为既出又入的邻点; 对任意两个不同顶点$x$和$y$, 若$x\rightarrow y$, 则从$x$到$y$的长为$2$的有向路的个数为$\lambda$, 否则为$\mu$. 有向强正则图是强正则图的有向版本, 最初由Duval在1988 年定义.本文整理了有向强正则图的一些已知性质和构造.

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图像与视频处理的张量方法
彭立中,张帆,周丙寅
数学进展. 2016, 45 (6): 840-860.   DOI: 10.11845/sxjz.2016002a
摘要   PDF (524KB)
最近研究表明, 张量是多维数据的自然表示形式, 能够保持数据的内在结构,而张量分解和特征值分析是处理和分析高维数据的潜在工具.张量的数学基础和基于张量的数据分析技术都得到了极大发展.本文对高阶张量分析及其在图像和视频处理中的应用进行综述,并指出一些可能的研究问题.
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随机整数划分的概率分析
苏中根
数学进展. 2016, 45 (6): 861-898.   DOI: 10.11845/sxjz.2015004a
摘要   PDF (462KB)
令$n\ge1$是自然数, 它的一个整数划分是一列自然数$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_l\ (l\geq 1)$使得$\lambda_1+\lambda_2+ \cdots+ \lambda_l=n$.令${\cal P}_n$表示$n$的所有整数划分的集合, $\cal P$表示所有整数划分的集合,通过赋予每个划分$\lambda$一个概率测度可以得到概率空间.特别地, 有趣的概率测度包括均匀测度和Plancherel测度以及乘性测度.这些整数随机划分的概率极限理论内容非常丰富.本文综述一些研究成果和进展, 包括极限形以及波动. 为叙述简单起见,主要集中在均匀划分和Plancherel划分,并且重点介绍两个模型中所用到条件概率的论证思想和方法,大多结果不加以详细证明.
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研究论文
维数不超10000的欧氏空间中2个同心球面上紧欧氏11-设计的非存在性
邱双月,王 欢
数学进展. 2016, 45 (6): 899-911.   DOI: 10.11845/sxjz.2015032b
摘要   PDF (383KB)

$n$维欧氏空间中$2$个同心球面上的紧欧氏$11$-设计的存在性问题是球面代数组合中的 重要问题. 本文借助结合方案、 凝聚构型和Maple软件进行研究. 首先计算出两个球面上点的内积所满足的方程. 然后利用推广的L-R-S定理找到必要条件, 即整性条件, 再对其存在的可能情况进行排除.本文证明了, 如果 $3\leq n\leq 10000$, 那么$n$维欧氏空间中$2$个同心球面上的紧欧氏$11$-设计是不存在的.

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非负张量Z-谱半径的上界
李薇, 常安
数学进展. 2016, 45 (6): 912-918.   DOI: 10.11845/sxjz.2015100b
摘要   PDF (155KB)

一个$m$阶 $n$维实张量是一组有$n^m$个实元素的多维数组.本文研究了非负张量最大Z-谱半径的一系列上界.

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广义框架的 G-对偶框架
李登峰, 李艳婷
数学进展. 2016, 45 (6): 919-931.   DOI: 10.11845/sxjz.2015204b
摘要   PDF (184KB)
本文首先提出了广义框架的G-对偶框架概念;其次给出了广义框架的G-对偶框架的性质和稳定性结果; 最后建立了广义框架的G-对偶框架 的特征刻画.
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Carnot群上双调和函数的均值定理
谭沈阳,黄体仁, 张学华
数学进展. 2016, 45 (6): 932-938.   DOI: 10.11845/sxjz.2014210b
摘要   PDF (285KB)
本文通过迭代方法得到了Carnot群上双调和函数的均值定理, 同时利用该均值定理得到了Carnot群上双调和算子的全局Liouville定理.
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求解非对称线性方程组的不完全广义最小向后扰动法
孙 蕾
数学进展. 2016, 45 (6): 939-954.   DOI: 10.11845/sxjz.2015119b
摘要   PDF (605KB)
本文给出了求解大型非对称线性方程组的广义最小向后扰动法(GMBACK) 的截断版本------不完全广义最小向后扰动法(IGMBACK).该方法基于Krylov 向量的不完全正交化, 从而在Krylov 子空间上求出一个近似的或者拟最小向后扰动解.本文对新算法IGMBACK做了一些理论研究, 包括算法的有限终止、解的存在性和唯一性等方面的研究; 且给出了IGMBACK 的执行.数值实验表明:IGMBACK 通常比GMBACK和广义最小残量法(GMRES)更有效; 且IGMBACK 和GMBACK 经常比GMRES收敛得更好. 特殊地, 如果系数矩阵是敏感矩阵, 且方程组右侧的向量平行于系数矩阵的最小奇异值对应的左奇异向量时, 重新开始的GMRES不一定收敛, 而IGMBACK和GMBACK一般收敛, 且比GMRES收敛得更好.
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一个应变梯度有限元的新基函数
李鸿亮, 明平兵
数学进展. 2016, 45 (6): 955-960.   DOI: 10.11845/sxjz.2016012b
摘要   PDF (143KB)
本文获得了魏悦广在[ Eur. J. Mech. A Solids}, 2006, 25: 897-913]中提出的一种简单有效的应变梯度有限元的一组基函数. 它与已有基函数等价, 但形式更加简单.
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