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数学进展
  2018年, 第47卷, 第3期 刊出日期:2018-06-01 上一期    下一期
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综述文章
一种新的基于非线性相位的Fourier理论及其应用
钱涛
数学进展. 2018, 47 (3): 321-347.   DOI: 10.11845/sxjz.2018002a
摘要   PDF (1039KB)
信号的正频率表示自Fourier分析诞生以来一直都是物理学家、数学家以及信号分析工作者密切关注的问题. 基于调和分析和复分析方法,在过去近二十年里诞生了单分量函数理论以及基于单分量函数的函数(信号)表示理论.作为原创性理论这个方法将信号快速分解为一些具有正的非线性瞬时频率的基本信号之和.该理论植根于经典数学并可以推广到定义在高维流形上的向量值及矩阵值信号. 这从而也创立了高维空间中的有理逼近理论. 单分量函数理论包括正瞬时频率的数学定义及几个最重要的单分量函数类的刻画. 单分量函数的表示理论包括核心自适应 Fourier 分解(Core Adaptive Fourier Decomposition, 或 Core AFD) 及其若干变种,包括解绕 AFD, 循环 AFD, 再生核 Hilbert 空间的预—正交 AFD. 除了理论及方法的概述, 本文也给出了两个新证明: 迄今最一般的依据极大选择原理的自适应分解的收敛性的证明; 以及参数重复选择的及用到再生核导数的必要性的证明. 最后我们给出该理论与数学及信号分析中若干相关理论的联系, 以及该方法的某些应用.
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研究论文
标准多重图中点不交的重边四边形
石慧苓, 高云澍
数学进展. 2018, 47 (3): 348-362.   DOI: 10.11845/sxjz.2016106b
摘要   PDF (418KB)
圈长为 $4$ 的图叫做四边形,任意两个顶点之间边数至多为 $2$ 的多重图叫做标准多重图,圈上的四条边都是重边的四边形叫重边四边形. 本文证明了:如果 $M$ 是阶数为 $4k$ 的标准多重图, $k$ 是正整数,且 $M$ 的最小度至少为 $6k-2$, 则除了三个特例之外, $M$ 包含 $k-1$个重边四边形和一个有三条重边的四边形, 使得这$k$个四边形彼此点不交.
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围长至少为 $\mathbf{5}$ 的平面图的 $\mathrm{\mathbf{injective}}$-染色
卜月华, 叶飘飘
数学进展. 2018, 47 (3): 363-372.   DOI: 10.11845/sxjz.2016118b
摘要   PDF (364KB)
图 $G$ 的 $\mathrm{injective}$ $k$-染色是指映射 $c$: $V(G)\rightarrow\{1,2,\cdot\cdot\cdot,k\}$, 使有公共邻点的两个顶点 $u,v$ 满足 $c(u)\neq c(v)$, 用 $\chi_i(G)$ 表示使 $G$ 有一个 $\mathrm{injective}$ $k$-染色的最小正整数 $k$. 对 $g(G)\geq 5$ 的平面图 $G$, 若 $\Delta(G)\geq20$, 证明了 $\chi_{i}(G)\leq \Delta+3$.
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小直径二连通外平面图的彩虹连通数
邓兴超, 宋贺, 苏贵福, 田润丽
数学进展. 2018, 47 (3): 373-382.   DOI: 10.11845/sxjz.2016123b
摘要   PDF (339KB)
本文研究直径为2或3的二连通外平面图$G$的彩虹连通数$\mathrm{rc}(G)$, 得到如下结果: 如果$G$的直径为2, 则对扇形图$F_n$ $(n\geq7)$或$C_5$有$\mathrm{rc}(G)=3$, 否则$\mathrm{rc}(G)=2$; 如果$G$的直径为3, 则$\mathrm{rc}(G)\leq4$并且这个界是紧的.
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具有循环极大子群$p$-群上的中心对称的正则凯莱地图
侯东东, 王燕, 曲海鹏
数学进展. 2018, 47 (3): 383-387.   DOI: 10.11845/sxjz.2016139b
摘要   PDF (154KB)
证明了两类具有循环极大子群的$p$-群上不存在中心对称的正则凯莱地图.
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关于丢番图方程 $(na)^x+(nb)^y=(nc)^z$
陈凤娟
数学进展. 2018, 47 (3): 388-392.   DOI: 10.11845/sxjz.2016129b
摘要   PDF (146KB)
设 $ (a,b,c) $为本原的商高数组, 满足$ a^2+b^2=c^2$且 $2\,|\,b$. 1956年, Jesmanowicz猜想: 对任给的正整数$n$, 丢番图方程$ (na)^x+(nb)^y=(nc)^z$ 仅有正整数解 $x=y=z=2$. 令 $P(n)$表示$n$的所有不同素因子乘积.对商高数组 $ (a, b, c)=( p^{2r}-4, 4p^r, p^{2r}+4)$, 其中 $p$ 为大于3的素数且 $p\not \equiv 1\pmod 8$, 本文证明在条件 $P(a)\,|\,n $ 或者 $ P(n)\nmid a$下, Jesmanowicz 猜想成立.
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一类Koszul代数的$n$}-APR倾斜的$\tau_{[n]}$}-mutation实现
罗德仁, 张通亮, 郑立景
数学进展. 2018, 47 (3): 393-400.   DOI: 10.11845/sxjz.2016137b
摘要   PDF (331KB)
本文引入一类Koszul代数的 $\tau_{[n]}$-mutation 的概念, 并证明对于整体维数小于等于$n$ 的Koszul 代数, 如果其Koszul对偶为允许$(n-1)$-平移代数, 则其$n$-APR 倾斜模的自同态代数的箭图可由其自身作$\tau_{[n]}$-mutation实现.
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Majid double双积的一种广义型
马天水, 刘琳琳
数学进展. 2018, 47 (3): 401-412.   DOI: 10.11845/sxjz.2016115b
摘要   PDF (191KB)
设$H$为双代数. $\sigma: H\otimes H\to A$为线性映射, 其中$A$为左$H$余模余代数, 且是带有左$H$-弱作用的代数. $\tau: H\otimes H\to B$为线性映射, 其中$B$为右$H$余模余代数, 且是带有右$H$- 弱作用的代数. 本文给出双边交叉积$A\#_{\sigma} H_{\tau}\# B$和双边smash余积构成双代数的充要条件. 这一结构包括了著名的Radford双积(见[J. Algebra, 1985, 92(2): 322-347]), Majid double双积(见[Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1999, 125(1): 151-192]), 以及王栓宏、焦争鸣和赵文正定义的交叉积(见[Comm. Algebra, 1998, 26(4): 1293-1303]).
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对合环上可加的$\boldsymbol{k}$-$\boldsymbol{\ast}$-交换映射
霍东华, 刘红玉
数学进展. 2018, 47 (3): 413-423.   DOI: 10.11845/sxjz.2017108b
摘要   PDF (197KB)
设~$\mathcal{R}$~是一个含有单位$1$的~$\ast$-环并且~$k$~是一个正整数, 证明了在某些条件下, 每一个可加映射~$f:\mathcal{R}\rightarrow \mathcal{R}$~是~$k$-$\ast$-交换映射当且仅当对所有的~$x\in \mathcal{R}$有$f(x)=\alpha x^{\ast}+h(x)$, 这里~$\alpha\in Z(\mathcal{R})$~并且~$h$~是从~$\mathcal{R}$~到~$Z(\mathcal{R})$ 的可加映射.
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广义四元数群的\,Burnside\,环的增广理想的连续商群的结构
唐高华, 李玉, 吴严生
数学进展. 2018, 47 (3): 424-432.   DOI: 10.11845/sxjz.2016074b
摘要   PDF (198KB)
本文主要讨论了广义四元数群的Burnside环的增广理想的$n$次幂与$n+1$次幂的商, 并给出了这类连续商群的结构.
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多项式型迭代方程的连续凸解
朱圣陵, 吴春
数学进展. 2018, 47 (3): 433-440.   DOI: 10.11845/sxjz.2017079b
摘要   PDF (167KB)
本文利用Schauder-Tychonoff不动点定理研究了多项式型迭代方程$\sum_{i=1}^{n}\lambda_if^i(x)=F(x)$在非紧区间$[0,\infty)$上的连续凸(凹)解问题.
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一类 Moran 测度的谱性
刘宗盛, 董新汉
数学进展. 2018, 47 (3): 441-447.   DOI: 10.11845/sxjz.2016126b
摘要   PDF (361KB)
令 $R_k=(\begin{smallmatrix}a_k &0\\0&b_k\end{smallmatrix})$ 为正整数扩张矩阵, $D_k=\{0,1,\cdots,q_k-1\}v_1+\{0,1,\cdots,q_k-1\}v_2$, 其中 $v_1=(1,0)^t, \,v_2=(0,1)^t$, \,$q_k>1$ 为正整数. 本文研究由 $\{R_k\}_{k=1}^\infty$ 和 $\{D_k\}_{k=1}^\infty$ 生成的 Moran 测度$\mu_{\{R_k\},\{D_k\}}:=\delta_{{R_1}^{-1}D_1}\ast\delta_{(R_2R_1)^{-1}D_2}\ast\cdots\ast\delta_{(R_k\cdots R_2R_1)^{-1}D_k}\ast\cdots$的谱性, 证明了当 $q_k|a_k$ 且 $q_k|b_k$ 时, $\mu_{\{R_k\},\{D_k\}}$ 为谱测度. 这推广了文献[J. Funct. Anal., 2014, 266(1): 343-354]和 [J. Funct. Anal., 2002, 193(2): 409-420]中的结论.
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关于沿子流形的离散分数次积分算子的一个注记
毛素珍, 孙丽静, 伍火熊
数学进展. 2018, 47 (3): 448-454.   DOI: 10.11845/sxjz.2016105b
摘要   PDF (178KB)
本文研究一维沿多项式曲线的离散分数次积分算子, 建立了其$(\ell^p,\ell^q)$界, 本质地推广了一些已知的结果.
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Banach空间中强伪单调变分不等式解的唯一性和稳定性
唐国吉, 李延恕
数学进展. 2018, 47 (3): 455-462.   DOI: 10.11845/sxjz.2016128b
摘要   PDF (362KB)
在自反Banach空间中证明强伪单调变分不等式解的存在唯一性定理. 在此基础上研究扰动变分不等式解的稳定性. 此外, 也在有限维空间中得到了强拟单调变分不等式解的存在性定理.
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一类锥约束变分不等式问题的最优性条件
董文, 张俊容, 王逸云, 黄拉
数学进展. 2018, 47 (3): 463-474.   DOI: 10.11845/sxjz.2016097b
摘要   PDF (315KB)
利用像空间分析法, 本文研究了带锥约束的变分不等式的最优性条件. 利用Gerstewitz非线性标量化函数, 给出了三个非线性弱分离函数、两个非线性正则弱分离函数和一个非线性强分离函数. 然后, 利用此分离函数, 得到了带锥约束的变分不等式的弱或强的最优性条件.
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排叉链环的多边形表示
韩友发, 王树新, 张大为
数学进展. 2018, 47 (3): 475-480.   DOI: 10.11845/sxjz.2016153b
摘要   PDF (310KB)
本文通过整数缠绕的棒表示与排叉链环对应的整数缠绕连通和分解, 给出排叉链环的一类多边形表示, 对排叉链环的棍棒数进行估计.
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