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数学进展
  2021年, 第50卷, 第3期 刊出日期:2021-05-20 上一期    下一期
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综述文章
量子力学的数学新视角
陈木法
数学进展. 2021, 50 (3): 321-334.   DOI: 10.11845/sxjz.2021001a
摘要   PDF (774KB)
在研究算法时遇到如下问题: 除实对称矩阵或复厄米矩阵外, 何种更大的矩阵类具有实谱? 后者是量子力学的两大特征之一, 另一特征是波动性.闻名于世的量子力学的“百年大战”就是围绕着波动方程的解是否存在"随机性"展开的. 我们将介绍这几年的探索, 以一个意外结果打开了一个新视角. 须知, 现代数学的多个分支源于量子力学.可以想象, 新视角所触及的决非仅仅几个小课题.
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研究论文
直径为2的可平面图的列表点荫度
杨燕平, 王艺桥, 王平, 王维凡
数学进展. 2021, 50 (3): 335-344.   DOI: 10.11845/sxjz.2019134b
摘要   PDF (325KB)
图$G$的点荫度$a(G)$是用来染$G$的顶点集合的最少颜色数使得不产生单色圈.列表点荫度$a_l(G)$是这个概念在列表染色意义下的推广. 本文证明了:若$G$是一个直径为2的可平面图, 则$a_l(G) \le 2$.
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图的2-控制数的上界和一个Graffiti.pc猜想
柳忠伟, 吴宝音都仍
数学进展. 2021, 50 (3): 345-352.   DOI: 10.11845/sxjz.2019140b
摘要   PDF (210KB)
设$G=(V(G),E(G))$是一个图, $k$是一个正整数.称一个顶点子集$S$为$G$的$k$-控制集, 若$V(G)\backslash S$中的每个顶点在$S$中至少有$k$个邻点,我们用$r_{k}(G)$表示$k$- 控制集的最小阶数. 令$d_{1}\leq d_{2}\leq\cdots\leq d_{n}$为图$G$的度序列. 当$n$为偶数时, 度序列中位数$m(G)=d_{\frac{n}{2}+1}$, 当$n$为奇数时,度序列中位数$m(G)=d_{\frac{n+1}{2}}$.一个仍未解决的Graffiti.pc猜想说: 对任一$n$个顶点的连通图$G$,$r_{2}(G)\leq n-m(G)+1$. 首先我们证明了此猜想的一个弱形式:$r_{2}(G)\leq n-d_{1}+1$. 此外, 通过拓展此猜想在二部图上的结果, 我们证明了对最小度不小于2的无三角形图$G$,$r_{2}(G)\leq n-\Delta(G)$, 其中$\Delta(G)$为图$G$的最大度.众所周知, 每一个其边数不少于顶点数的图都包含一个圈.我们将此结论推广到超图上. 进而得到上述猜想对所有分裂图都成立.
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关于三阶渐近基和极小渐近基
程智, 孙翠芳
数学进展. 2021, 50 (3): 353-358.   DOI: 10.11845/sxjz.2019132b
摘要   PDF (153KB)
设$\mathbb{N}$是自然数集, $\mathbb{N}=W_{0}\cup W_{1}\cup W_{2}$是自然数集的分拆, 其中集合$W_{i} (i=0, 1, 2)$是无限集. 本文中, 在$W_{1}, W_{2}, W_{3}$中有一个仅包含两个连续整数, 另外两个不包含连续整数的条件下, 我们构造了三阶渐近基和极小渐近基.这个成果将进一步丰富渐近基相关领域的研究.
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左–左BiHom-Yetter-Drinfeld模的张量积
刘玲, 沈炳良
数学进展. 2021, 50 (3): 359-368.   DOI: 10.11845/sxjz.2020077b
摘要   PDF (306KB)
令$(H, \mu_H, \Delta_H, \alpha_H, \beta_H, \psi_H, \omega_H)$ 是 BiHom- 双代数. 本文首先给出了$H$ 上的左–左 BiHom-Yetter-Drinfeld 模的定义, 并证明了两个左–左 BiHom-Yetter-Drinfeld 模的张量积还是一个左– 左 BiHom-Yetter-Drinfeld 模. 然后研究了拟三角 BiHom- 双代数 $(H, R)$ 上的左模范畴和左–左 BiHom-Yetter-Drinfeld 模构成的范畴之间的关系.
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关于对称点的特定子类双单叶函数的泛函估计
龙品红, 李星, 汪文帅
数学进展. 2021, 50 (3): 369-382.   DOI: 10.11845/sxjz.2019131b
摘要   PDF (217KB)
本文研究了与Srivastava-Attiya算子有关的解析、双单叶函数类$\Sigma$ 的子类${\mathcal{S}^{*}_{\Sigma}}^{b}_{\eta}(\mu,\lambda; \phi)$, 接着给出了Fekete-Szegö 泛函不等式对应估计以及系数$a_2$和$a_3$的有界的对应估计, 进而得到关于对称点函数子类${\mathcal{S}^{*}_{\Sigma}}(\lambda;\phi)$的第二Hankel行列式. 还诠释了与以前已知结论的因果关系和联系.
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一类带时滞的肿瘤免疫模型的Hopf分支
杨艳红, 伏升茂
数学进展. 2021, 50 (3): 383-398.   DOI: 10.11845/sxjz.2020008b
摘要   PDF (372KB)
本文研究一类带时滞的肿瘤免疫模型. 首先分析非负平衡点的稳定性. 然后以$\tau$ 为分支参数证明 Hopf 分支的存在性. 最后运用规范型方法和中心流形理论给出 Hopf 分支方向和分支周期解稳定性的判据.
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一类新型Chlodovsky算子的逼近性质研究
连博勇
数学进展. 2021, 50 (3): 399-408.   DOI: 10.11845/sxjz.2020087b
摘要   PDF (171KB)
本文研究了一类基于非负实参数的新型Chlodovsky算子, 用Ditzian-Totik光滑模与二阶连续模得到了逼近定理, 然后研究了该算子对Lipschitz类函数的逼近误差上界, 最后得到了该算子对一类导数为有界变差函数的绝对连续函数的收敛阶.
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$s$-Carleson测度与广义面积积分
樊云
数学进展. 2021, 50 (3): 409-417.   DOI: 10.11845/sxjz.2020136b
摘要   PDF (261KB)
本文利用分数次积分算子的有界性研究了广义面积积分算子在广义Morrey空间上的有界性, 并给出了$s$-Carleson测度若干新的等价刻画.
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一类多重循环群的同构刻画
雒晓良, 刘合国
数学进展. 2021, 50 (3): 418-428.   DOI: 10.11845/sxjz.2020061b
摘要   PDF (268KB)
设$A$是秩为$n$ $(n\geq2)$的自由Abel群, $\alpha$是利用$A$直和分量上的循环置换与数乘构造的一个$A$的自同构. 作$A$ 与$\alpha$的半直积$G=A\rtimes\langle\alpha\rangle$, 本文给出了这类多重循环群$G$的同构分类, 以及它构成超可解群和幂零群的充要条件.
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Banach代数中上三角矩阵的广义Drazin谱
庞永锋, 马栋, 张丹莉
数学进展. 2021, 50 (3): 429-436.   DOI: 10.11845/sxjz.2019133b
摘要   PDF (289KB)
设${\mathcal A}$是含单位元$e$的Banach代数,$a,b,c\in {\mathcal A}$, $M_{c}=\big(\begin{smallmatrix} a & c \\ 0 & b \end{smallmatrix} \big)\in M_{2}({\mathcal A})$. 本文提出了Banach代数中元素的左、右广义Drazin可逆的概念.定义集合$\sigma_{\mathrm{gD}}(a)=\{\lambda\in{\mathbb{C}}:a-\lambda e \mbox{不是广义Drazin可逆的}\}$ 为元素$a$的广义Drazin谱.证明了$$\sigma_{\mathrm{gD}}(a)\cup \sigma_{\mathrm{gD}}(b)=\sigma_{\mathrm{gD}}(M_{c})\cup W_{g},$$ 其中$W_{g}$是$\sigma_{\mathrm{gD}}(M_{c})$的某些洞且$W_{g}\subseteq \sigma_{\mathrm{gD}}(a)\cap \sigma_{\mathrm{gD}}(b)$, 或者更精细地$W_{g}\subseteq \sigma_{\mathrm{rgD}}(a)\cap \sigma_{\mathrm{lgD}}(b)$. 此外,还研究了Banach代数中元素的广义Drazin谱的其他性质.
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年龄等级结构捕食系统的平衡态与稳定性
何泽荣
数学进展. 2021, 50 (3): 437-450.   DOI: 10.11845/sxjz.2019143b
摘要   PDF (376KB)
本文旨在探索基于个体等级差异的捕食种群系统的平衡态存在性及稳定性. 借助非线性映射的非零不动点结果确立了系统正平衡态的存在性, 运用压缩算子半群法获得了渐近稳定性判据, 由扰动算子的特征值导出了不稳定条件. 对于零解给出了全局稳定性判别法.
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一类多项式型的超bent函数
周俊超
数学进展. 2021, 50 (3): 451-470.   DOI: 10.11845/sxjz.2019130b
摘要   PDF (267KB)
Bent函数是一类著名的布尔函数, 它们具有偶数个变元和最大的非线性度, 并且在密码、编码和序列设计方面有着广泛的应用. 超bent函数是bent函数的一个重要的子类, 并且具有最大的代数次数. 本文提出了一类多项式型的超bent函数, 利用与Dickson多项式相关的完全指数和、Kloosterman和以及Weil和刻画了这类函数的超bent性质.
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支撑$\tau$-倾斜模和支撑倾斜模
刘裕, 周潘岳
数学进展. 2021, 50 (3): 471-474.   DOI: 10.11845/sxjz.2020098b
摘要   PDF (136KB)
设$\Lambda$ 是一个有限维代数. 本文证明了任意支撑倾斜$\Lambda$-模是支撑$\tau$-倾斜$\Lambda$-模.反之, 任意投射维数小于等于1的支撑$\tau$-倾斜$\Lambda$-模是支撑倾斜$\Lambda$-模.特别地, 如果$\Lambda$是遗传的, 则任意支撑倾斜$\Lambda$-模恰好是支撑$\tau$-倾斜$\Lambda$-模.
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问题与猜想
欧拉猜想及其变种
蔡天新, 张勇
数学进展. 2021, 50 (3): 475-479.   DOI: 10.11845/sxjz.2020002e
摘要   PDF (273KB)
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