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数学进展
  2021年, 第50卷, 第4期 刊出日期:2021-07-20 上一期    下一期
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综述文章
企业违约相依性的建模方法
郭南, 杨静平
数学进展. 2021, 50 (4): 481-495.   DOI: 10.11845/sxjz.2020005a
摘要   PDF (2083KB)
企业违约相依性建模是对企业贷款、企业债券等信用类金融资产组合遭受大规模违约风险进行数学建模和预测的工作, 是金融数学领域的一项重要课题. 2007-2009年国际金融危机充分暴露了金融行业在违约相依性建模实践方面的不足. 本文对企业违约相依性建模的相关前沿学术成果进行回顾和总结, 包括模型理论以及应用成果, 并结合国内外金融市场发展情况给出一些研究方向的讨论.
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研究论文
2维2次非线性薛定谔方程的整体有界性
李俊峰, 李想
数学进展. 2021, 50 (4): 496-510.   DOI: 10.11845/sxjz.2020029b
摘要   PDF (235KB)
本文考虑2维2次的规范不变的非线性薛定谔方程, 研究它在$H^{0,2}(\mathbb{R}^2)$ 上的整体有界性. 并且通过导出波包中测试函数的渐近方程得到了它的修正散射. 这种使用波包测试函数的方法容许同时考虑问题在物理空间和频率空间的渐近性质.
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一类2级一般强正则图
宋思敏, 杨丽芳, 张更生
数学进展. 2021, 50 (4): 511-518.   DOI: 10.11845/sxjz.2020013b
摘要   PDF (313KB)
作为强正则图的一种新推广, $p$级一般强正则图是使得任意两个邻接的顶点和任意两个不邻接的顶点的公共邻接点数都有$p$种不同取值的非空$k$-正则图. 对于参数为$(n,k;a_1,a_2;c_1,c_2)$的2级一般强正则图中任一顶点, 如果与这个顶点邻接且有$a_{i}$ $(i=1,2)$个公共邻接点或者与这个顶点不邻接且有$c_{i}$ $(i=1,2)$个公共邻接点的顶点数与该点的选取无关, 则称这个2级一般强正则图为自由的. 本文研究了参数为$(n,k;k-1,a_2;k-1,c_2)$的2级一般强正则图, 得到一类自由的2级一般强正则图存在的充要条件.
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关于一类勾股数的Jesmanowicz猜想
管训贵
数学进展. 2021, 50 (4): 519-528.   DOI: 10.11845/sxjz.2020001b
摘要   PDF (261KB)
设$k,l,m_{1},m_{2}$是正整数, $p,q$为素数, 满足$p^k=2^{m1}-3^{m2}, q^l=2^{m1}+3^{m2}$, 且$2\nmid m_{2}$或$2|m_{1}$, $2|m_{2}$.本文证明了对任意正整数$n$, 丢番图方程$\bigg(\frac{q^{2l}-p^{2k}}{2}n \bigg)^x+(p^k q^l n)^y=\bigg(\frac{q^{2l}+p^{2k}}{2}n \bigg)^z$除$x=y=z=2$外没有其他的正整数解. 从而说明Jesmanowicz猜想在该类情形下成立.
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$p+2^k$型表法个数不超过$K$的正整数的渐近密度
杨仕椿, 蒋自国
数学进展. 2021, 50 (4): 529-537.   DOI: 10.11845/sxjz.2020004b
摘要   PDF (303KB)
能够表为$p+2^k$型的正整数的渐近密度问题是组合数论研究中的一个重要问题,它与著名的Goldbach-Linnik问题密切相关.我们研究了能够表为$p+2^k$形式的正整数的表示方法个数不超过$K$的正整数集合$A_{K}$的元素的比例问题,进一步改进了现有结论, 获得了一些更好的下界.
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循环矩阵构成的Hopf代数
徐华博
数学进展. 2021, 50 (4): 538-546.   DOI: 10.11845/sxjz.2020010b
摘要   PDF (182KB)
$C_n(R)$表示交换环$R$上$n$阶循环矩阵的全体. 根据通常矩阵的乘法$\bullet$和加法, $C_n(R)$同构于一个箭图代数. 考虑矩阵的Hadamard积$\circ$, $C_n(R)$也为结合代数, 在$C_n(R)$上定义了新的余乘$\Delta$, 余单位$\varepsilon$和对极$S$使得$(C_n(R),\circ,\mu, \Delta,\varepsilon, S)$做成Hopf 代数.
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关于$n$-Ding同调模
陈东, 胡葵
数学进展. 2021, 50 (4): 547-555.   DOI: 10.11845/sxjz.2020074b
摘要   PDF (313KB)
引入$n$-Ding同调模, 统一了Gorenstein同调模、Ding同调模和Gorenstein AC同调模的概念. 讨论了$n$-Ding同调模的诸多性质, 例如$n$-Ding投射模类是投射可解的, $n$-Ding内射模类是内射可解的. 证明了当$n>1$时, $n$-Ding投射模是$n$-Ding平坦模, 特别地, Gorenstein AC投射模是Gorenstein AC平坦模. 最后, 用$n$-Ding同调模刻画了一些熟知的环类, 如: Noether环、完全环、QF环、FC环等, 补充了Gorenstein同调理论的相关研究结果.
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非交换商群的中心均循环的有限$p$群
王娇
数学进展. 2021, 50 (4): 556-560.   DOI: 10.11845/sxjz.2020120b
摘要   PDF (251KB)
称有限群$G$为$\mathcal {QCC}$群, 若对$G$中的任意非交换商群$G/N$, 均有$Z(G/N)$循环, 其中$1\neq N\trianglelefteq G$. 本文对$\mathcal{QCC}$ $p$群进行了研究, 证明了非交换$\mathcal{QCC}$ $p$群或为特殊群、或换位子群的阶为$p$、或生成元的个数为$2$. 进一步, 证明了二元生成且$|G|\neq 3^5$的非交换$\mathcal{QCC}$ $2$群 ($\mathcal{QCC}$ $3$群) $G$为内交换群或极大类群.
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弱左C-rpp半群
袁莹, 任学明, 宫春梅
数学进展. 2021, 50 (4): 561-570.   DOI: 10.11845/sxjz.2020080b
摘要   PDF (179KB)
本文研究一类弱rpp半群, 即所谓弱左C-rpp半群. 在该类半群半格分解基础上证明了每一个弱左C-rpp半群均可表示为一个幂零幺半群的强半格与一个左正则带的左交叉积. 该结果是[Semigroup Forum, 1976/77, 13(3): 229-237]中关于C-rpp半群及[Semigroup Forum, 1995, 50(1): 9-23]中关于左C-rpp半群结论的一个共同推广.
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积域上沿曲线的振荡积分算子在调幅函数空间上的有界性
徐良玉, 孙伟, 谢如龙, 徐富强
数学进展. 2021, 50 (4): 571-580.   DOI: 10.11845/sxjz.2020073b
摘要   PDF (346KB)
设$Q^2=[0,1] \times[0,1]$表示一个2维的单位方体. 本文主要证明了算子$\Upsilon_{\alpha,\beta}f(x,y)=\int_{Q2}f(x-\gamma_{1}(t),y-\gamma_{2}(s)) e^{-2\pi it -\beta 1_s-\beta 2} t^{-\alpha 1-1} s^{-\alpha_2 -1}\mathrm{d}t\mathrm{d}s$在调幅函数空间$M^{p,q}_s (\mathbb R^n \times \mathbb R^m)$上的有界性, 其中$(x,y) \in \mathbb R^n \times \mathbb R^m$, $\gamma_{1}(t)=(t^{p1},t^{p2},\cdots,t^{pn}$, $\gamma_{2}(s)=(s^{q1},s^{q2},\cdots,s^{qm}$分别是$\mathbb R^n$和$\mathbb R^m$ 上的曲线, 以及$\beta_{1}>\alpha_{1}>0$, $\beta_{2}>\alpha_{2}>0.$
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变量核Marcinkiewicz积分算子在齐次变指标Herz空间中的有界性
于夏, 刘宗光
数学进展. 2021, 50 (4): 581-592.   DOI: 10.11845/sxjz.2020003b
摘要   PDF (322KB)
本文证明了变量核Marcinkiewicz积分算子在具有三个变指标的齐次Herz空间$\dot{K}_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot)}$上的有界性.
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Banach空间及其对偶空间上的一致正规结构
左占飞
数学进展. 2021, 50 (4): 593-602.   DOI: 10.11845/sxjz.2020104b
摘要   PDF (175KB)
本文利用一些几何常数的关系得到了Banach空间及其对偶空间具有一致正规结构的充分条件.
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复射影空间中极小曲面的整体刚性定理
浦东
数学进展. 2021, 50 (4): 603-613.   DOI: 10.11845/sxjz.2020011b
摘要   PDF (204KB)
本文主要研究复射影空间中的紧复曲线以及全实极小曲面的整体刚性问题. 定义$|A|^2$为复射影空间中紧复曲线$\Sigma$的第二基本形式的模长平方. 我们证明了如果$\int_{\Sigma} |A|^2\mathrm{d}\mu<\frac{1}{378\pi}$, 那么$\Sigma$是全测地的. 对于全实极小曲面, 我们也得到了类似的刚性定理. 更一般地, 我们证明了复射影空间中关于极小曲面的整体刚性定理.
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弱相依误差线性回归模型M-估计的弱相合性
胡宏昌
数学进展. 2021, 50 (4): 614-628.   DOI: 10.11845/sxjz.2020005b
摘要   PDF (247KB)
本文考虑线性回归模型$y_i=x_i^{\mathrm T} \beta+e_i$, $i=1,2,\cdots,n$, 其中$e_i$是 $(\varepsilon,\psi)$-弱相依随机误差. 在较一般的条件下, 我们得到了M-估计弱相合性的统一结果, 该结果推广了线性回归模型M-估计的相应结论, 包括所有时间序列相依误差, 如: 高斯序列、相协序列、Bernoulli漂移、Markov链、一些广泛使用的线性或非线性时间序列、以及各种混合序列.
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次线性期望下的完全Choquet积分收敛
梁自威, 吴群英
数学进展. 2021, 50 (4): 629-640.   DOI: 10.11845/sxjz.2020023b
摘要   PDF (184KB)
本文主要研究了次线性期望空间下的完全收敛和完全Choquet积分收敛, 创新之处在于把经典概率空间的完全收敛以及完全Choquet积分收敛扩展到了次线性期望空间.
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